LESSON 1.4 · UNIT Ⅴ-1
1.4

호의 길이와 넓이

Arc Length & Area of a Sector

원의 둘레와 넓이에서 시작해, 부채꼴의 호와 넓이까지 — 단 두 개의 공식으로 충분하다.

HOOK

$\pi$는 무엇인가?

지름 $1$인 원의 둘레를 줄자로 재 보면 약 $3.14159\ldots$. 지름 $2$인 원이라면 약 $6.283\ldots$. 어떤 크기의 원이든 (둘레)÷(지름)의 값은 항상 같습니다. 이 일정한 값을 우리는 $\pi$ (파이)라 부릅니다.

그래서 원의 둘레 $= \pi \times$ 지름 $= 2\pi r$. 그리고 원을 가는 부채꼴 조각으로 잘라 직사각형처럼 늘어놓으면 가로 $\pi r$, 세로 $r$인 직사각형이 되므로 원의 넓이 $= \pi r^2$입니다.

부채꼴은 원의 일부 — 그래서 부채꼴의 호와 넓이도 원의 둘레·넓이에 중심각의 비율만 곱하면 됩니다. 단 두 개의 공식이 모든 것을 해결합니다.

"원주율 $\pi$는 우주의 모든 원에 공통으로 들어 있는 상수다."

CORE CONCEPT

원의 둘레와 넓이

DEFINITION 01

원주율 $\pi$: 원의 둘레를 지름으로 나눈 값. $\pi = 3.14159\ldots$ (무리수)

FORMULA 01 — 원
반지름 $r$인 원의 둘레 $l = 2\pi r$
반지름 $r$인 원의 넓이 $S = \pi r^2$

부채꼴의 호의 길이와 넓이

중심각 $a\degree$인 부채꼴은 원 전체를 $\dfrac{a}{360}$만큼 잘라 낸 조각입니다. 따라서 호의 길이는 원의 둘레의 $\dfrac{a}{360}$, 넓이는 원의 넓이의 $\dfrac{a}{360}$.

FORMULA 02 — 부채꼴
호의 길이 $l = 2\pi r \times \dfrac{a}{360}$
부채꼴의 넓이 $S = \pi r^2 \times \dfrac{a}{360}$
$r$ = 반지름, $a$ = 중심각의 크기(도)

부채꼴 넓이의 또 다른 공식

유도

부채꼴의 호의 길이를 $l$, 반지름을 $r$이라 하자. 그러면 중심각 $a$는 $l = 2\pi r \times \dfrac{a}{360}$에서 $\dfrac{a}{360} = \dfrac{l}{2\pi r}$로 표현된다.

이를 넓이 공식에 대입하면:

$S = \pi r^2 \times \dfrac{a}{360} = \pi r^2 \times \dfrac{l}{2\pi r} = \dfrac{1}{2} r l$

이 공식은 중심각을 모르더라도, 반지름과 호의 길이만 알면 부채꼴의 넓이를 구할 수 있게 해 줍니다. 삼각형의 넓이 공식 $\dfrac{1}{2} \times$ 밑변 $\times$ 높이와 모양이 비슷한 것이 우연이 아닙니다 — 부채꼴을 잘게 잘라 펴면 삼각형이 되거든요.

FORMULA 03 — 부채꼴 넓이 (별식)
$S = \dfrac{1}{2} r l$
$r$ = 반지름, $l$ = 호의 길이. 중심각을 몰라도 답을 구할 수 있다.
INTERACTIVE

부채꼴 계산기

반지름 $r$과 중심각 $a$를 조절하면, 호의 길이와 부채꼴의 넓이가 실시간으로 계산됩니다.

SECTOR CALCULATOR
6
120°
호의 길이 $l$
4π
부채꼴 넓이 $S$
12π
$\tfrac{1}{2}rl$ 검산
12π
QUICK CHECK · 5문항

개념을 점검해 봅시다

Q-01
수치 입력
반지름이 $5$ cm인 원의 둘레는 $\square\,\pi$ cm이다. $\square$에 들어갈 수를 구하시오.
π cm
Q-02
수치 입력
반지름이 $4$ cm인 원의 넓이는 $\square\,\pi$ cm²이다. $\square$에 들어갈 수를 구하시오.
π cm²
Q-03
수치 입력
반지름 $6$ cm, 중심각 $60\degree$인 부채꼴의 호의 길이는 $\square\,\pi$ cm.
π cm
Q-04
수치 입력
반지름 $6$ cm, 중심각 $60\degree$인 부채꼴의 넓이는 $\square\,\pi$ cm².
π cm²
Q-05
수치 입력
반지름이 $5$ cm이고 호의 길이가 $4\pi$ cm인 부채꼴의 넓이는 $\square\,\pi$ cm². ($S = \tfrac{1}{2}rl$ 활용)
π cm²
WORKED EXAMPLES · 2문항

예제로 익혀 보자

EXAMPLE 01
반지름이 $8$ cm이고 중심각의 크기가 $135\degree$인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 각각 구하시오.
호의 길이 $l = 2\pi r \times \dfrac{a}{360} = 2\pi \times 8 \times \dfrac{135}{360}$.
$\dfrac{135}{360} = \dfrac{3}{8}$이므로 $l = 16\pi \times \dfrac{3}{8} = 6\pi$ (cm).
넓이 $S = \pi r^2 \times \dfrac{a}{360} = \pi \times 64 \times \dfrac{3}{8} = 24\pi$ (cm²). 검산: $S = \tfrac{1}{2}rl = \tfrac{1}{2} \times 8 \times 6\pi = 24\pi$ ✓
▶ 호 $\mathbf{6\pi}$ cm, 넓이 $\mathbf{24\pi}$ cm²
EXAMPLE 02
반지름이 $9$ cm, 호의 길이가 $6\pi$ cm인 부채꼴의 넓이를 구하시오.
반지름과 호의 길이가 주어졌으므로 $S = \dfrac{1}{2}rl$ 공식을 사용한다.
$S = \dfrac{1}{2} \times 9 \times 6\pi = 27\pi$ (cm²).
▶ $\mathbf{27\pi}$ cm²
PRACTICE · 8문항

스스로 연습해 보자

P-01 ★
수치 입력
반지름이 $7$ cm인 원의 둘레는 $\square\,\pi$ cm.
π cm
P-02 ★
수치 입력
반지름이 $10$ cm인 원의 넓이는 $\square\,\pi$ cm².
π cm²
P-03 ★
수치 입력
반지름 $12$ cm, 중심각 $30\degree$인 부채꼴의 호의 길이는 $\square\,\pi$ cm.
π cm
P-04 ★★
수치 입력
반지름 $10$ cm, 중심각 $144\degree$인 부채꼴의 넓이는 $\square\,\pi$ cm².
π cm²
P-05 ★★
수치 입력
반지름이 $12$ cm이고 호의 길이가 $10\pi$ cm인 부채꼴의 넓이는 $\square\,\pi$ cm². ($\tfrac{1}{2}rl$ 활용)
π cm²
P-06 ★★
수치 입력
반지름 $6$ cm, 호의 길이 $4\pi$ cm인 부채꼴의 중심각의 크기는 몇 도인가? ($2\pi r \cdot \tfrac{a}{360} = 4\pi$로 두고 $a$ 구하기)
도
P-07 ★★★
수치 입력
반지름이 $10$ cm이고 넓이가 $25\pi$ cm²인 부채꼴의 중심각의 크기는 몇 도인가?
도
P-08 ★★★
수치 입력
한 변의 길이가 $6$ cm인 정사각형 내부에, 한 꼭짓점을 중심으로 하고 반지름이 $6$ cm인 부채꼴 (중심각 $90\degree$)이 그려져 있다. 정사각형에서 부채꼴을 뺀 부분의 넓이는 $\square - 9\pi$ (cm²)이다. $\square$에 들어갈 수는?
WRAP-UP

1.4 호의 길이와 넓이 — 핵심 정리

원의 둘레와 넓이 공식에 중심각의 비율 $\tfrac{a}{360}$을 곱하면 부채꼴의 호와 넓이. 호와 반지름만 알면 $\tfrac{1}{2}rl$로도 넓이를 구할 수 있습니다.

POINT 1

원: $l = 2\pi r$, $S = \pi r^2$

POINT 2

부채꼴 호: $l = 2\pi r \cdot \dfrac{a}{360}$

POINT 3

부채꼴 넓이: $S = \pi r^2 \cdot \dfrac{a}{360}$

POINT 4

별식: $S = \dfrac{1}{2}rl$ — 중심각을 몰라도 구할 수 있는 강력한 공식

↑ Ⅴ-1. 평면도형 차례로